摘要：提出基于一种参数化dq0坐标变换的永磁同步电机(PMSM)建模方法，结果可用于矢量控制等。彻底解决了dq0坐标变换、PMSM数学模型的多版本易混淆问题。此外，本研究对其它对象基于dq0坐标变换的建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了本研究的正确性和有效性。
关键词：PMSM；dq0坐标变换；矢量控制；数学模型。
中图分类号：TM351 文献标识码：A 文章编号：xxx
Modeling and Vector Control of PMSM Based on Parameterized dq0 Coordinate Transformation
Abstract: In order to completely solve the problem that there are numerous versions of dq0 coordinate transformation and PMSM mathematical model which can be easily confused, a modeling method of PMSM based on parameterized dq0 coordinate transformation is presented. The modeling results can be used to perform vector control or others. Moreover, it contributes to a universal guide on how to model for other targets based on parameterized dq0 coordinate transformation. Theoretical verification and experiment further prove the correctness and validity of the study.
Key words: PMSM, dq0 coordinate transformation, vector control, mathematical model
1 引言
永磁同步电机（PMSM）具有高功率密度、高转矩电流比、宽调速范围等众多优点[1-4]，近年来在工业上应用广泛。这与永磁材料、电力电子、微型计算机及控制等技术的发展关系密切。PMSM当前主流的控制方式为矢量控制。
PMSM矢量控制的基础是同步电机理论中的dq0坐标变换及其推导出的电机数学模型。而同步电机理论体系源于20世纪20年代R.E. Doherty及R.H. Park等人卓有成效的研究[5,6]。R.H. Park的经典论文[6]具有里程碑意义，文中的系数为2/3的dq0变换应用广泛，习惯上称为Park变换。若考虑Kron的功率不变性变换原则[7]，Park变换又可改造成恒功率dq0坐标变换[8](简称恒功率变换)，此变换的系数为(2/3)0.5，此类变换版本也并非仅限于这两种。下文研究可知，dq0坐标变换的零序分量的子增益系数n的选择具有较强的自由度，此外理论上，dq0坐标变换系数k>0即可，所以dq0坐标变换具备存在其它大量衍生版本的可能性。例如，陈坚于1989年指出[9]：
(1)当用恒功率变换时，得到的异步电机电磁转矩表达式系数为1。
(2)当用W. Leonhard等学者惯用的系数为1的dq0坐标变换时，得到的异步电机电磁转矩表达式系数为2/3。
(3)当用Park及Bose等学者惯用的系数为2/3的dq0坐标变换时，得到的异步电机电磁转矩表达式系数为3/2。
(4)当用系数为(1/3)0.5的dq0坐标变换时，得到的异步电机电磁转矩表达式系数为2。
可见：
1) dq0坐标变换存在多种惯用版本。
2) dq0坐标变换与异步电机电磁转矩表达式存在内在的关联性。
综上及结合交流电机定子共同理论，不难猜想：对于PMSM而言，将存在类似情况。dq0坐标变换版本不仅对转矩方程系数有影响，对电压、电流和磁链变换系数也有影响。
dq0坐标变换及其导出的相关数学模型多版本并存，给学术研究和工程应用造成不便，应特别小心版本易混淆问题，人们早已发现并指出该问题。例如，许大中于上世纪90年代初明确指出[10]：由于Park变换和恒功率变换这两种变换都用得很多，极易混淆。Charles A. G.认为[8]这两种变换形式产生相当复杂和潜在的混乱情况。然而由于应用场合及使用习惯差异等原因，规定统一使用某一特定版本的dq0坐标变换已不大现实。
综上所述，研究dq0坐标变换与PMSM数学模型的版本关联性，解决模型版本易混淆问题是很有必要和现实意义的。本文提出基于一种参数化dq0坐标变换的PMSM建模方法，并据建模结果进行矢量控制。从而彻底解决了模型版本易混淆问题，对其它对象基于dq0坐标变换的建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了研究的正确性与有效性。
2 PMSM模型版本差异性
按坐标描述形式，PMSM数学模型通常可分为三相静止坐标模型(abc)、两相静止坐标模型(ab)，两相旋转坐标模型(dq)等，第三种最常用。三者的位置关系一般分为图1(a)[11]和图1(b) [1,12]两种情况，国内前者为主，本文采用前者。
（a）坐标关系一 （b）坐标关系二
图1 坐标关系
PMSM数学模型版本差异的根源是由于不同的坐标变换关系造成的。已有文献中常见版本的dq0坐标变换版本主要有Park变换和恒功率变换，存在分别与二者对应版本的PMSM数学模型，当然还有其它众多版本。Park变换及其对应的PMSM数学模型版本如下[11]：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
注意到不同文献所用符号略有区别，但本质无异。式(1)是abc坐标到dq坐标的变换矩阵，即Park变换的矩阵描述形式。式(2)磁链方程，Lq、Ld是交、直轴电感，lr为转子永磁磁链。式(3)电压方程，ud、uq为d、q轴电压，id、iq为d、q轴电流，ld，lq为d、q轴磁链，ωe为电角频率，Rs为定子电阻，p表示对时间求导。式(4)电磁转矩方程, Tem是电磁转矩，pn是极对数。式(5)运动方程，J是转动惯量，ωr是机械角频率，乘极对数pn即为电角频率。式（2）-（5）中相关的零序分量用零下标表示。PMSM数学模型应包括磁链方程、电压方程、电磁转矩方程、运动方程；值得注意是，dq0坐标变换应与之版本配套使用，从一而终。关于恒功率变换版本模型见下文。
3 参数化dq0坐标变换及建模
三相交流电机建模一般基于若干假定：忽略铁心磁饱和，电动势为正弦、忽略谐波因素、忽略铁损，电机三相对称等，本文的研究继承此假定条件。
3.1 参数化dq0坐标变换
PMSM数学模型版本最明显差异是电磁转矩方程系数（差异非仅限于此），原因是abc坐标转dq坐标的模缩放倍数不同，模缩放倍数取决于坐标变换矩阵系数。此外，不同版本变换阵的零序分量子增益系数有差异。定义abc坐标系电压、电流、磁链列向量如下：
(6)
(7)
(8)
定义dq坐标系电压、电流、磁链列向量：
(9)
(10)
(11)
式(9)-(11)中零序下标对应量为零序分量。
对应图1(a)，定义ab坐标到dq坐标变换阵：
(12)
定义abc坐标到ab坐标变换模缩放比例系数k，定义零序分量子增益系数n，得abc坐标到ab坐标变换矩阵：
(13)
则abc坐标系到dq坐标系的参数化dq0坐标变换即:
(14)
式(12)和式(13)代入式(14)得：
(15)
(16)
可见k和n都不能为零。若电压、电流、磁链用通配符s表示，那么abc坐标与dq坐标相关量的正逆变换为：
(17)
下文基于参数化dq0坐标变换式(15)及变换关系式（17）推导与之关联的模型方程。
3.2 PMSM建模之磁链方程
PMSM在dq坐标系下的磁链方程以abc坐标系磁链方程为基础，经参数化dq0坐标变换矩阵式(15)变换得到。
为便于研究，将永磁转子磁链等效成电励磁式转子磁链，其等效直流励磁磁链即：
(18)
式中：if是等效直流励磁电流，Laf是励磁轴线与电枢绕组磁轴线重合时定转子间互感。当两轴线存在一定夹角，互感按夹角余弦规律变化[11]，那么定义定子三相与转子互感向量
(19)
定子电感矩阵可定义为[11]：
(20)
则有定子abc坐标磁链方程：
(21)
左右同时左乘式(15)整理得：
(22)
根据文献[11]附录中定子电感模型及式（15）代入式(22)整理得dq0电感对角阵：
(23)
其中：
(24)
式中：La1中是电枢漏磁自感分量，Laa0是空间基波气隙磁通引起的自感分量，Lg2是凸极特性导致气隙差异引起的电感项，L0是零序电感。可见Ldq0与参数k及n无关。则式(22)整理得：
(25)
则基于参数化dq0坐标变换的PMSM的磁链方程为：
(26)
该方程含参数k，不含参数n，对照式(15)可见：参数化dq0坐标变换与其导出的PMSM磁链方程存在关联关系。
3.3 PMSM建模之电压方程
由法拉第电磁感应定律及欧姆定理可写出PMSM在abc坐标下电压方程：
(27)
其中p为对时间求导，左右同时左乘式(15)得：
(28)
注意到：式(27)中ldq0是时间的函数，Tv-1且含有变量q，q对时间求导即为电角频率we，改写式(28)得PMSM在dq坐标下电压方程:
(29)
即为基于参数化dq0坐标变换的PMSM的电压方程。方程(29)似乎与参数化dq0坐标变换没有关联关系，不妨将式(26)代入式(29)整理得电压方程另一形式：
(30)
式中含有参数k，由此可见：本质上，参数化dq0坐标变换与其导出的PMSM电压方程存在关联关系。
3.4 PMSM建模之电磁转矩方程
PMSM电磁转矩与功率有关，其输入电功率：
(31)
式(9)、(10)和(15)代入整理得:
(32)
式（29）代入整理得：
(33)
式中4项分别是磁场储能变化率、零序功率、铜耗及电磁功率，零序电流一般为零，即使不为零，它在电机中不产生气隙主磁场，不影响转矩及电机动态过程[10]。由于机械角频率：
(34)
则式(33）中电磁功率部分对机械角频率求导得PMSM电磁转矩方程为：
(35)
式（26）代入得其另一形式：
(36)
式(35)和(36)即为基于参数化dq0坐标变换的PMSM电磁转矩方程两种描述形式。可见PMSM电磁转矩方程与参数化dq0坐标变换存在关联关系。
以上，分别推导出了基于参数化dq0坐标变换的PMSM数学模型的磁链、电压、电磁转矩三大方程，皆与参数化dq0坐标变换存在关联关系。
参数化dq0坐标变换式（15）与（16)、磁链方程式（26）、电压方程式（29）与式（30）、电磁转矩方程式（35）与式（36）、运动方程式(5)、即为本文提出的基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果。
综上所述，借助以上建模结果，针对不同版本dq0坐标变换的参数k和n，可快速得到与之配套的PMSM数学模型版本。
4 模型理论验证
由上文PMSM建模结果的相关方程可见，dq0坐标变换及PMSM数学模型版本的选定本质上是对k和n参数值的选定，因此有必要对k和n参数取值进行探讨分析。关于模型理论验证，限于篇幅，下文仅对常见的Park变换和恒功率变换两种版本做理论验证，其它版本，读者可参照下文进行类似理论验证。
4.1 参数化dq0坐标变换的参数取值
为使公式(16)有意义，k和n不能为零。k反映了dq与abc两坐标系相关量的模缩放关系，则理论上k的取值范围为(0，+∞)，其值的具体确定与dq0坐标变换及PMSM的数学模型版本选定直接相关。
为使零序分量在坐标变换前后保持同号，参数n理论上应大于零，则n的取值范围为(0，+∞)。可见，只有当考虑恒功率变换时，式(15)和(16)应为正交变换，此时n=1/(2)0.5，其它情况下理论上n>0即可，因此n参数值的选定一定条件下具有较强的主观性和随机性，值得注意。
4.2 与Park变换版本的PMSM模型理论验证
当k=2/3且n=1/2，式(15)即为Park变换式(1)，磁链方程式(26)即为式(2)，电压方程式(29)即为式(3)，电磁转矩方程式(36)即为式(4)，运动方程(5)不变。因此，本文基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果适用于Park变换版本。此外，易验证当n为其它大于零的值时，Park变换得到的PMSM的磁链、电压、电磁转矩三大方程不变。
4.3 与恒功率变换版本的PMSM模型理论验证
可以证明当dq0坐标变换为恒功率变换时，坐标变换矩阵应为正交矩阵[9]，即
(37)
E为单位阵，可解得：
(38)
分别代入式（15）、（26）、（30）、（36）得：
(39)
(40)
(41)
(42)
已有多数文献中恒功率变换版本的dq0坐标变换及PMSM数学模型，关于式（39）和式(5)的描述形式与本文是一致的，而关于式（40）~（42）则略有区别，但本质上是一致的，因为已有文献中的恒功率变换版本已经对永磁磁链做了重定义[10, 14]，即令：
(43)
代入式（40）~（42），去掉上标，则与已有文献中的描述形式是一致的。值得注意的是：当文献经层层引用后，这种重定义说明常常被忽略，容易引起误解。因此，本文基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果适用于恒功率变换版本。
5 矢量控制实验验证
为进一步验证建模的正确性与有效性，依据上文的建模结果：参数化dq0坐标变换式（15）与（16)、磁链方程式（26）、电压方程式（29）与式（30）、电磁转矩方程式（35）与式（36）、运动方程式(5)，当k取不同值时，选用某PMSM进行矢量控制实验，控制框图如图2所示。图2中的SVPWM算法研究文献较多且成熟，限于篇幅不多展开。
实验电机参数为：额定功率600W，额定电压220V，相电阻0.982 ohm，直轴电感2.9mH，交轴电感3.0mH，永磁磁链0.075Wb，极对数为4，转动惯量0.425x10-3 kg.m2。
图2 PMSM矢量控制框图
采用Park变换版PMSM模型实施id=0矢量控制时，iq等于定子相电流幅值，为便于研究，定义Park变换版的k值为基值ba=2/3，其它版本的k值基于ba比例化取值。转速调节器输出饱和值（即iq给定限幅）应含k/ba项，可确保k变时电机输出转矩波形基本相同。
控制器采用DSP芯片TMS320F2808，逆变器采用IPM模块PS21867；开关频率10kHz；q轴电流环kp=0.6，ki=0.07；d轴电流环kp=0.9，ki=0.1；转速环kp=8，ki=0.007。
k分别取0.5ba、1.0ba和1.5ba，id=0矢量控制，转速阶跃0~2100rpm，三种模型版本的矢量控制实验结果如图3所示。实验结果对比可见：
1) 相电流除初始相位随机不同外，其幅值和频率变化规律一致，转速变化规律基本一致。
2) q轴电压电流呈现随k值成比例缩放的变化规律。
3) 三种模型版本的矢量控制实验波形响应均正常。
(a) k=0.5ba
(b) k=1.0ba
(c) k=1.5ba
图3 三种模型版本的矢量控制实验波形
可见实验结果与本文所提的相关建模结果是吻合的。
6 结论
通过研究分析，提出基于参数化dq0坐标变换的PMSM的建模方法，彻底解决了PMSM数学模型多版本并存时版本易混淆问题，对其它对象的相关建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了研究的正确性和有效性。
参考文献
[1] Pillay P, Krishnan R. Modeling, simulation, and analysis of permanent-magnet motor drives. I. The permanent-magnet synchronous motor drive[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 1989, 25(2): 265-273.
[2] 刘金海,陈为. 表贴式永磁同步电机准稳态多参数在线辨识[J]. 电工技术学报,2016,(17):154-160.
[3] 刘金海,陈为,胡金高. 永磁同步电机dq电感参数新实验获取法[J]. 电工技术学报,2014,(07):97-103.
[4] 唐任远. 现代永磁电机与理论[M]. 北京: 机械工业出版社, 1997: 4-10.
[5] Doherty R E, Nickle C A. Synchronous machines I-an extension of blondel's two-reaction theory[J]. American Institute of Electrical Engineers, Transactions of the, 1926, Vol. XLV:912-947.
[6] Park R H. Two-reaction theory of synchronous machines generalized method of analysis-part I[J]. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, 1929, 48(3): 716-727.摘要：提出基于一种参数化dq0坐标变换的永磁同步电机(PMSM)建模方法，结果可用于矢量控制等。彻底解决了dq0坐标变换、PMSM数学模型的多版本易混淆问题。此外，本研究对其它对象基于dq0坐标变换的建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了本研究的正确性和有效性。
关键词：PMSM；dq0坐标变换；矢量控制；数学模型。
中图分类号：TM351 文献标识码：A 文章编号：xxx
Modeling and Vector Control of PMSM Based on Parameterized dq0 Coordinate Transformation
Abstract: In order to completely solve the problem that there are numerous versions of dq0 coordinate transformation and PMSM mathematical model which can be easily confused, a modeling method of PMSM based on parameterized dq0 coordinate transformation is presented. The modeling results can be used to perform vector control or others. Moreover, it contributes to a universal guide on how to model for other targets based on parameterized dq0 coordinate transformation. Theoretical verification and experiment further prove the correctness and validity of the study.
Key words: PMSM, dq0 coordinate transformation, vector control, mathematical model
1 引言
永磁同步电机（PMSM）具有高功率密度、高转矩电流比、宽调速范围等众多优点[1-4]，近年来在工业上应用广泛。这与永磁材料、电力电子、微型计算机及控制等技术的发展关系密切。PMSM当前主流的控制方式为矢量控制。
PMSM矢量控制的基础是同步电机理论中的dq0坐标变换及其推导出的电机数学模型。而同步电机理论体系源于20世纪20年代R.E. Doherty及R.H. Park等人卓有成效的研究[5,6]。R.H. Park的经典论文[6]具有里程碑意义，文中的系数为2/3的dq0变换应用广泛，习惯上称为Park变换。若考虑Kron的功率不变性变换原则[7]，Park变换又可改造成恒功率dq0坐标变换[8](简称恒功率变换)，此变换的系数为(2/3)0.5，此类变换版本也并非仅限于这两种。下文研究可知，dq0坐标变换的零序分量的子增益系数n的选择具有较强的自由度，此外理论上，dq0坐标变换系数k>0即可，所以dq0坐标变换具备存在其它大量衍生版本的可能性。例如，陈坚于1989年指出[9]：
(1)当用恒功率变换时，得到的异步电机电磁转矩表达式系数为1。
(2)当用W. Leonhard等学者惯用的系数为1的dq0坐标变换时，得到的异步电机电磁转矩表达式系数为2/3。
(3)当用Park及Bose等学者惯用的系数为2/3的dq0坐标变换时，得到的异步电机电磁转矩表达式系数为3/2。
(4)当用系数为(1/3)0.5的dq0坐标变换时，得到的异步电机电磁转矩表达式系数为2。
可见：
1) dq0坐标变换存在多种惯用版本。
2) dq0坐标变换与异步电机电磁转矩表达式存在内在的关联性。
综上及结合交流电机定子共同理论，不难猜想：对于PMSM而言，将存在类似情况。dq0坐标变换版本不仅对转矩方程系数有影响，对电压、电流和磁链变换系数也有影响。
dq0坐标变换及其导出的相关数学模型多版本并存，给学术研究和工程应用造成不便，应特别小心版本易混淆问题，人们早已发现并指出该问题。例如，许大中于上世纪90年代初明确指出[10]：由于Park变换和恒功率变换这两种变换都用得很多，极易混淆。Charles A. G.认为[8]这两种变换形式产生相当复杂和潜在的混乱情况。然而由于应用场合及使用习惯差异等原因，规定统一使用某一特定版本的dq0坐标变换已不大现实。
综上所述，研究dq0坐标变换与PMSM数学模型的版本关联性，解决模型版本易混淆问题是很有必要和现实意义的。本文提出基于一种参数化dq0坐标变换的PMSM建模方法，并据建模结果进行矢量控制。从而彻底解决了模型版本易混淆问题，对其它对象基于dq0坐标变换的建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了研究的正确性与有效性。
2 PMSM模型版本差异性
按坐标描述形式，PMSM数学模型通常可分为三相静止坐标模型(abc)、两相静止坐标模型(ab)，两相旋转坐标模型(dq)等，第三种最常用。三者的位置关系一般分为图1(a)[11]和图1(b) [1,12]两种情况，国内前者为主，本文采用前者。
（a）坐标关系一 （b）坐标关系二
图1 坐标关系
PMSM数学模型版本差异的根源是由于不同的坐标变换关系造成的。已有文献中常见版本的dq0坐标变换版本主要有Park变换和恒功率变换，存在分别与二者对应版本的PMSM数学模型，当然还有其它众多版本。Park变换及其对应的PMSM数学模型版本如下[11]：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
注意到不同文献所用符号略有区别，但本质无异。式(1)是abc坐标到dq坐标的变换矩阵，即Park变换的矩阵描述形式。式(2)磁链方程，Lq、Ld是交、直轴电感，lr为转子永磁磁链。式(3)电压方程，ud、uq为d、q轴电压，id、iq为d、q轴电流，ld，lq为d、q轴磁链，ωe为电角频率，Rs为定子电阻，p表示对时间求导。式(4)电磁转矩方程, Tem是电磁转矩，pn是极对数。式(5)运动方程，J是转动惯量，ωr是机械角频率，乘极对数pn即为电角频率。式（2）-（5）中相关的零序分量用零下标表示。PMSM数学模型应包括磁链方程、电压方程、电磁转矩方程、运动方程；值得注意是，dq0坐标变换应与之版本配套使用，从一而终。关于恒功率变换版本模型见下文。
3 参数化dq0坐标变换及建模
三相交流电机建模一般基于若干假定：忽略铁心磁饱和，电动势为正弦、忽略谐波因素、忽略铁损，电机三相对称等，本文的研究继承此假定条件。
3.1 参数化dq0坐标变换
PMSM数学模型版本最明显差异是电磁转矩方程系数（差异非仅限于此），原因是abc坐标转dq坐标的模缩放倍数不同，模缩放倍数取决于坐标变换矩阵系数。此外，不同版本变换阵的零序分量子增益系数有差异。定义abc坐标系电压、电流、磁链列向量如下：
(6)
(7)
(8)
定义dq坐标系电压、电流、磁链列向量：
(9)
(10)
(11)
式(9)-(11)中零序下标对应量为零序分量。
对应图1(a)，定义ab坐标到dq坐标变换阵：
(12)
定义abc坐标到ab坐标变换模缩放比例系数k，定义零序分量子增益系数n，得abc坐标到ab坐标变换矩阵：
(13)
则abc坐标系到dq坐标系的参数化dq0坐标变换即:
(14)
式(12)和式(13)代入式(14)得：
(15)
(16)
可见k和n都不能为零。若电压、电流、磁链用通配符s表示，那么abc坐标与dq坐标相关量的正逆变换为：
(17)
下文基于参数化dq0坐标变换式(15)及变换关系式（17）推导与之关联的模型方程。
3.2 PMSM建模之磁链方程
PMSM在dq坐标系下的磁链方程以abc坐标系磁链方程为基础，经参数化dq0坐标变换矩阵式(15)变换得到。
为便于研究，将永磁转子磁链等效成电励磁式转子磁链，其等效直流励磁磁链即：
(18)
式中：if是等效直流励磁电流，Laf是励磁轴线与电枢绕组磁轴线重合时定转子间互感。当两轴线存在一定夹角，互感按夹角余弦规律变化[11]，那么定义定子三相与转子互感向量
(19)
定子电感矩阵可定义为[11]：
(20)
则有定子abc坐标磁链方程：
(21)
左右同时左乘式(15)整理得：
(22)
根据文献[11]附录中定子电感模型及式（15）代入式(22)整理得dq0电感对角阵：
(23)
其中：
(24)
式中：La1中是电枢漏磁自感分量，Laa0是空间基波气隙磁通引起的自感分量，Lg2是凸极特性导致气隙差异引起的电感项，L0是零序电感。可见Ldq0与参数k及n无关。则式(22)整理得：
(25)
则基于参数化dq0坐标变换的PMSM的磁链方程为：
(26)
该方程含参数k，不含参数n，对照式(15)可见：参数化dq0坐标变换与其导出的PMSM磁链方程存在关联关系。
3.3 PMSM建模之电压方程
由法拉第电磁感应定律及欧姆定理可写出PMSM在abc坐标下电压方程：
(27)
其中p为对时间求导，左右同时左乘式(15)得：
(28)
注意到：式(27)中ldq0是时间的函数，Tv-1且含有变量q，q对时间求导即为电角频率we，改写式(28)得PMSM在dq坐标下电压方程:
(29)
即为基于参数化dq0坐标变换的PMSM的电压方程。方程(29)似乎与参数化dq0坐标变换没有关联关系，不妨将式(26)代入式(29)整理得电压方程另一形式：
(30)
式中含有参数k，由此可见：本质上，参数化dq0坐标变换与其导出的PMSM电压方程存在关联关系。
3.4 PMSM建模之电磁转矩方程
PMSM电磁转矩与功率有关，其输入电功率：
(31)
式(9)、(10)和(15)代入整理得:
(32)
式（29）代入整理得：
(33)
式中4项分别是磁场储能变化率、零序功率、铜耗及电磁功率，零序电流一般为零，即使不为零，它在电机中不产生气隙主磁场，不影响转矩及电机动态过程[10]。由于机械角频率：
(34)
则式(33）中电磁功率部分对机械角频率求导得PMSM电磁转矩方程为：
(35)
式（26）代入得其另一形式：
(36)
式(35)和(36)即为基于参数化dq0坐标变换的PMSM电磁转矩方程两种描述形式。可见PMSM电磁转矩方程与参数化dq0坐标变换存在关联关系。
以上，分别推导出了基于参数化dq0坐标变换的PMSM数学模型的磁链、电压、电磁转矩三大方程，皆与参数化dq0坐标变换存在关联关系。
参数化dq0坐标变换式（15）与（16)、磁链方程式（26）、电压方程式（29）与式（30）、电磁转矩方程式（35）与式（36）、运动方程式(5)、即为本文提出的基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果。
综上所述，借助以上建模结果，针对不同版本dq0坐标变换的参数k和n，可快速得到与之配套的PMSM数学模型版本。
4 模型理论验证
由上文PMSM建模结果的相关方程可见，dq0坐标变换及PMSM数学模型版本的选定本质上是对k和n参数值的选定，因此有必要对k和n参数取值进行探讨分析。关于模型理论验证，限于篇幅，下文仅对常见的Park变换和恒功率变换两种版本做理论验证，其它版本，读者可参照下文进行类似理论验证。
4.1 参数化dq0坐标变换的参数取值
为使公式(16)有意义，k和n不能为零。k反映了dq与abc两坐标系相关量的模缩放关系，则理论上k的取值范围为(0，+∞)，其值的具体确定与dq0坐标变换及PMSM的数学模型版本选定直接相关。
为使零序分量在坐标变换前后保持同号，参数n理论上应大于零，则n的取值范围为(0，+∞)。可见，只有当考虑恒功率变换时，式(15)和(16)应为正交变换，此时n=1/(2)0.5，其它情况下理论上n>0即可，因此n参数值的选定一定条件下具有较强的主观性和随机性，值得注意。
4.2 与Park变换版本的PMSM模型理论验证
当k=2/3且n=1/2，式(15)即为Park变换式(1)，磁链方程式(26)即为式(2)，电压方程式(29)即为式(3)，电磁转矩方程式(36)即为式(4)，运动方程(5)不变。因此，本文基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果适用于Park变换版本。此外，易验证当n为其它大于零的值时，Park变换得到的PMSM的磁链、电压、电磁转矩三大方程不变。
4.3 与恒功率变换版本的PMSM模型理论验证
可以证明当dq0坐标变换为恒功率变换时，坐标变换矩阵应为正交矩阵[9]，即
(37)
E为单位阵，可解得：
(38)
分别代入式（15）、（26）、（30）、（36）得：
(39)
(40)
(41)
(42)
已有多数文献中恒功率变换版本的dq0坐标变换及PMSM数学模型，关于式（39）和式(5)的描述形式与本文是一致的，而关于式（40）~（42）则略有区别，但本质上是一致的，因为已有文献中的恒功率变换版本已经对永磁磁链做了重定义[10, 14]，即令：
(43)
代入式（40）~（42），去掉上标，则与已有文献中的描述形式是一致的。值得注意的是：当文献经层层引用后，这种重定义说明常常被忽略，容易引起误解。因此，本文基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果适用于恒功率变换版本。
5 矢量控制实验验证
为进一步验证建模的正确性与有效性，依据上文的建模结果：参数化dq0坐标变换式（15）与（16)、磁链方程式（26）、电压方程式（29）与式（30）、电磁转矩方程式（35）与式（36）、运动方程式(5)，当k取不同值时，选用某PMSM进行矢量控制实验，控制框图如图2所示。图2中的SVPWM算法研究文献较多且成熟，限于篇幅不多展开。
实验电机参数为：额定功率600W，额定电压220V，相电阻0.982 ohm，直轴电感2.9mH，交轴电感3.0mH，永磁磁链0.075Wb，极对数为4，转动惯量0.425x10-3 kg.m2。
图2 PMSM矢量控制框图
采用Park变换版PMSM模型实施id=0矢量控制时，iq等于定子相电流幅值，为便于研究，定义Park变换版的k值为基值ba=2/3，其它版本的k值基于ba比例化取值。转速调节器输出饱和值（即iq给定限幅）应含k/ba项，可确保k变时电机输出转矩波形基本相同。
控制器采用DSP芯片TMS320F2808，逆变器采用IPM模块PS21867；开关频率10kHz；q轴电流环kp=0.6，ki=0.07；d轴电流环kp=0.9，ki=0.1；转速环kp=8，ki=0.007。
k分别取0.5ba、1.0ba和1.5ba，id=0矢量控制，转速阶跃0~2100rpm，三种模型版本的矢量控制实验结果如图3所示。实验结果对比可见：
1) 相电流除初始相位随机不同外，其幅值和频率变化规律一致，转速变化规律基本一致。
2) q轴电压电流呈现随k值成比例缩放的变化规律。
3) 三种模型版本的矢量控制实验波形响应均正常。
(a) k=0.5ba
(b) k=1.0ba
(c) k=1.5ba
图3 三种模型版本的矢量控制实验波形
可见实验结果与本文所提的相关建模结果是吻合的。
6 结论
通过研究分析，提出基于参数化dq0坐标变换的PMSM的建模方法，彻底解决了PMSM数学模型多版本并存时版本易混淆问题，对其它对象的相关建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了研究的正确性和有效性。
参考文献
[1] Pillay P, Krishnan R. Modeling, simulation, and analysis of permanent-magnet motor drives. I. The permanent-magnet synchronous motor drive[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 1989, 25(2): 265-273.
[2] 刘金海,陈为. 表贴式永磁同步电机准稳态多参数在线辨识[J]. 电工技术学报,2016,(17):154-160.
[3] 刘金海,陈为,胡金高. 永磁同步电机dq电感参数新实验获取法[J]. 电工技术学报,2014,(07):97-103.
[4] 唐任远. 现代永磁电机与理论[M]. 北京: 机械工业出版社, 1997: 4-10.
[5] Doherty R E, Nickle C A. Synchronous machines I-an extension of blondel's two-reaction theory[J]. American Institute of Electrical Engineers, Transactions of the, 1926, Vol. XLV:912-947.
[6] Park R H. Two-reaction theory of synchronous machines generalized method of analysis-part I[J]. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, 1929, 48(3): 716-727.