主管单位:黑龙江省机械工业联合会
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国内统一刊号:23-1259/TM
国际标准刊号:1008-7281
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基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模与矢量控制
摘要:提出基于一种参数化dq0坐标变换的永磁同步电机(PMSM)建模方法,结果可用于矢量控制等。彻底解决了dq0坐标变换、PMSM数学模型的多版本易混淆问题。此外,本研究对其它对象基于dq0坐标变换的建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了本研究的正确性和有效性。 关键词:PMSM;dq0坐标变换;矢量控制;数学模型。 中图分类号:TM351 文献标识码:A 文章编号:xxx Modeling and Vector Control of PMSM Based on Parameterized dq0 Coordinate Transformation Abstract: In order to completely solve the problem that there are numerous versions of dq0 coordinate transformation and PMSM mathematical model which can be easily confused, a modeling method of PMSM based on parameterized dq0 coordinate transformation is presented. The modeling results can be used to perform vector control or others. Moreover, it contributes to a universal guide on how to model for other targets based on parameterized dq0 coordinate transformation. Theoretical verification and experiment further prove the correctness and validity of the study. Key words: PMSM, dq0 coordinate transformation, vector control, mathematical model
1 引言 永磁同步电机(PMSM)具有高功率密度、高转矩电流比、宽调速范围等众多优点[1-4],近年来在工业上应用广泛。这与永磁材料、电力电子、微型计算机及控制等技术的发展关系密切。PMSM当前主流的控制方式为矢量控制。 PMSM矢量控制的基础是同步电机理论中的dq0坐标变换及其推导出的电机数学模型。而同步电机理论体系源于20世纪20年代R.E. Doherty及R.H. Park等人卓有成效的研究[5,6]。R.H. Park的经典论文[6]具有里程碑意义,文中的系数为2/3的dq0变换应用广泛,习惯上称为Park变换。若考虑Kron的功率不变性变换原则[7],Park变换又可改造成恒功率dq0坐标变换[8](简称恒功率变换),此变换的系数为(2/3)0.5,此类变换版本也并非仅限于这两种。下文研究可知,dq0坐标变换的零序分量的子增益系数n的选择具有较强的自由度,此外理论上,dq0坐标变换系数k>0即可,所以dq0坐标变换具备存在其它大量衍生版本的可能性。例如,陈坚于1989年指出[9]: (1)当用恒功率变换时,得到的异步电机电磁转矩表达式系数为1。 (2)当用W. Leonhard等学者惯用的系数为1的dq0坐标变换时,得到的异步电机电磁转矩表达式系数为2/3。 (3)当用Park及Bose等学者惯用的系数为2/3的dq0坐标变换时,得到的异步电机电磁转矩表达式系数为3/2。 (4)当用系数为(1/3)0.5的dq0坐标变换时,得到的异步电机电磁转矩表达式系数为2。 可见: 1) dq0坐标变换存在多种惯用版本。 2) dq0坐标变换与异步电机电磁转矩表达式存在内在的关联性。 综上及结合交流电机定子共同理论,不难猜想:对于PMSM而言,将存在类似情况。dq0坐标变换版本不仅对转矩方程系数有影响,对电压、电流和磁链变换系数也有影响。 dq0坐标变换及其导出的相关数学模型多版本并存,给学术研究和工程应用造成不便,应特别小心版本易混淆问题,人们早已发现并指出该问题。例如,许大中于上世纪90年代初明确指出[10]:由于Park变换和恒功率变换这两种变换都用得很多,极易混淆。Charles A. G.认为[8]这两种变换形式产生相当复杂和潜在的混乱情况。然而由于应用场合及使用习惯差异等原因,规定统一使用某一特定版本的dq0坐标变换已不大现实。 综上所述,研究dq0坐标变换与PMSM数学模型的版本关联性,解决模型版本易混淆问题是很有必要和现实意义的。本文提出基于一种参数化dq0坐标变换的PMSM建模方法,并据建模结果进行矢量控制。从而彻底解决了模型版本易混淆问题,对其它对象基于dq0坐标变换的建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了研究的正确性与有效性。 2 PMSM模型版本差异性 按坐标描述形式,PMSM数学模型通常可分为三相静止坐标模型(abc)、两相静止坐标模型(ab),两相旋转坐标模型(dq)等,第三种最常用。三者的位置关系一般分为图1(a)[11]和图1(b) [1,12]两种情况,国内前者为主,本文采用前者。
(a)坐标关系一 (b)坐标关系二 图1 坐标关系 PMSM数学模型版本差异的根源是由于不同的坐标变换关系造成的。已有文献中常见版本的dq0坐标变换版本主要有Park变换和恒功率变换,存在分别与二者对应版本的PMSM数学模型,当然还有其它众多版本。Park变换及其对应的PMSM数学模型版本如下[11]: (1) (2) (3) (4) (5) 注意到不同文献所用符号略有区别,但本质无异。式(1)是abc坐标到dq坐标的变换矩阵,即Park变换的矩阵描述形式。式(2)磁链方程,Lq、Ld是交、直轴电感,lr为转子永磁磁链。式(3)电压方程,ud、uq为d、q轴电压,id、iq为d、q轴电流,ld,lq为d、q轴磁链,ωe为电角频率,Rs为定子电阻,p表示对时间求导。式(4)电磁转矩方程, Tem是电磁转矩,pn是极对数。式(5)运动方程,J是转动惯量,ωr是机械角频率,乘极对数pn即为电角频率。式(2)-(5)中相关的零序分量用零下标表示。PMSM数学模型应包括磁链方程、电压方程、电磁转矩方程、运动方程;值得注意是,dq0坐标变换应与之版本配套使用,从一而终。关于恒功率变换版本模型见下文。 3 参数化dq0坐标变换及建模 三相交流电机建模一般基于若干假定:忽略铁心磁饱和,电动势为正弦、忽略谐波因素、忽略铁损,电机三相对称等,本文的研究继承此假定条件。 3.1 参数化dq0坐标变换 PMSM数学模型版本最明显差异是电磁转矩方程系数(差异非仅限于此),原因是abc坐标转dq坐标的模缩放倍数不同,模缩放倍数取决于坐标变换矩阵系数。此外,不同版本变换阵的零序分量子增益系数有差异。定义abc坐标系电压、电流、磁链列向量如下: (6) (7) (8) 定义dq坐标系电压、电流、磁链列向量: (9) (10) (11) 式(9)-(11)中零序下标对应量为零序分量。 对应图1(a),定义ab坐标到dq坐标变换阵: (12) 定义abc坐标到ab坐标变换模缩放比例系数k,定义零序分量子增益系数n,得abc坐标到ab坐标变换矩阵: (13) 则abc坐标系到dq坐标系的参数化dq0坐标变换即: (14) 式(12)和式(13)代入式(14)得: (15) (16) 可见k和n都不能为零。若电压、电流、磁链用通配符s表示,那么abc坐标与dq坐标相关量的正逆变换为: (17) 下文基于参数化dq0坐标变换式(15)及变换关系式(17)推导与之关联的模型方程。 3.2 PMSM建模之磁链方程 PMSM在dq坐标系下的磁链方程以abc坐标系磁链方程为基础,经参数化dq0坐标变换矩阵式(15)变换得到。 为便于研究,将永磁转子磁链等效成电励磁式转子磁链,其等效直流励磁磁链即: (18) 式中:if是等效直流励磁电流,Laf是励磁轴线与电枢绕组磁轴线重合时定转子间互感。当两轴线存在一定夹角,互感按夹角余弦规律变化[11],那么定义定子三相与转子互感向量 (19) 定子电感矩阵可定义为[11]: (20) 则有定子abc坐标磁链方程: (21) 左右同时左乘式(15)整理得: (22) 根据文献[11]附录中定子电感模型及式(15)代入式(22)整理得dq0电感对角阵: (23) 其中: (24) 式中:La1中是电枢漏磁自感分量,Laa0是空间基波气隙磁通引起的自感分量,Lg2是凸极特性导致气隙差异引起的电感项,L0是零序电感。可见Ldq0与参数k及n无关。则式(22)整理得: (25) 则基于参数化dq0坐标变换的PMSM的磁链方程为: (26) 该方程含参数k,不含参数n,对照式(15)可见:参数化dq0坐标变换与其导出的PMSM磁链方程存在关联关系。 3.3 PMSM建模之电压方程 由法拉第电磁感应定律及欧姆定理可写出PMSM在abc坐标下电压方程: (27) 其中p为对时间求导,左右同时左乘式(15)得: (28) 注意到:式(27)中ldq0是时间的函数,Tv-1且含有变量q,q对时间求导即为电角频率we,改写式(28)得PMSM在dq坐标下电压方程: (29) 即为基于参数化dq0坐标变换的PMSM的电压方程。方程(29)似乎与参数化dq0坐标变换没有关联关系,不妨将式(26)代入式(29)整理得电压方程另一形式: (30) 式中含有参数k,由此可见:本质上,参数化dq0坐标变换与其导出的PMSM电压方程存在关联关系。 3.4 PMSM建模之电磁转矩方程 PMSM电磁转矩与功率有关,其输入电功率: (31) 式(9)、(10)和(15)代入整理得: (32) 式(29)代入整理得: (33) 式中4项分别是磁场储能变化率、零序功率、铜耗及电磁功率,零序电流一般为零,即使不为零,它在电机中不产生气隙主磁场,不影响转矩及电机动态过程[10]。由于机械角频率: (34) 则式(33)中电磁功率部分对机械角频率求导得PMSM电磁转矩方程为: (35) 式(26)代入得其另一形式: (36) 式(35)和(36)即为基于参数化dq0坐标变换的PMSM电磁转矩方程两种描述形式。可见PMSM电磁转矩方程与参数化dq0坐标变换存在关联关系。 以上,分别推导出了基于参数化dq0坐标变换的PMSM数学模型的磁链、电压、电磁转矩三大方程,皆与参数化dq0坐标变换存在关联关系。 参数化dq0坐标变换式(15)与(16)、磁链方程式(26)、电压方程式(29)与式(30)、电磁转矩方程式(35)与式(36)、运动方程式(5)、即为本文提出的基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果。 综上所述,借助以上建模结果,针对不同版本dq0坐标变换的参数k和n,可快速得到与之配套的PMSM数学模型版本。 4 模型理论验证 由上文PMSM建模结果的相关方程可见,dq0坐标变换及PMSM数学模型版本的选定本质上是对k和n参数值的选定,因此有必要对k和n参数取值进行探讨分析。关于模型理论验证,限于篇幅,下文仅对常见的Park变换和恒功率变换两种版本做理论验证,其它版本,读者可参照下文进行类似理论验证。 4.1 参数化dq0坐标变换的参数取值 为使公式(16)有意义,k和n不能为零。k反映了dq与abc两坐标系相关量的模缩放关系,则理论上k的取值范围为(0,+∞),其值的具体确定与dq0坐标变换及PMSM的数学模型版本选定直接相关。 为使零序分量在坐标变换前后保持同号,参数n理论上应大于零,则n的取值范围为(0,+∞)。可见,只有当考虑恒功率变换时,式(15)和(16)应为正交变换,此时n=1/(2)0.5,其它情况下理论上n>0即可,因此n参数值的选定一定条件下具有较强的主观性和随机性,值得注意。 4.2 与Park变换版本的PMSM模型理论验证 当k=2/3且n=1/2,式(15)即为Park变换式(1),磁链方程式(26)即为式(2),电压方程式(29)即为式(3),电磁转矩方程式(36)即为式(4),运动方程(5)不变。因此,本文基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果适用于Park变换版本。此外,易验证当n为其它大于零的值时,Park变换得到的PMSM的磁链、电压、电磁转矩三大方程不变。 4.3 与恒功率变换版本的PMSM模型理论验证 可以证明当dq0坐标变换为恒功率变换时,坐标变换矩阵应为正交矩阵[9],即 (37) E为单位阵,可解得: (38) 分别代入式(15)、(26)、(30)、(36)得: (39) (40) (41) (42) 已有多数文献中恒功率变换版本的dq0坐标变换及PMSM数学模型,关于式(39)和式(5)的描述形式与本文是一致的,而关于式(40)~(42)则略有区别,但本质上是一致的,因为已有文献中的恒功率变换版本已经对永磁磁链做了重定义[10, 14],即令: (43) 代入式(40)~(42),去掉上标,则与已有文献中的描述形式是一致的。值得注意的是:当文献经层层引用后,这种重定义说明常常被忽略,容易引起误解。因此,本文基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果适用于恒功率变换版本。 5 矢量控制实验验证 为进一步验证建模的正确性与有效性,依据上文的建模结果:参数化dq0坐标变换式(15)与(16)、磁链方程式(26)、电压方程式(29)与式(30)、电磁转矩方程式(35)与式(36)、运动方程式(5),当k取不同值时,选用某PMSM进行矢量控制实验,控制框图如图2所示。图2中的SVPWM算法研究文献较多且成熟,限于篇幅不多展开。 实验电机参数为:额定功率600W,额定电压220V,相电阻0.982 ohm,直轴电感2.9mH,交轴电感3.0mH,永磁磁链0.075Wb,极对数为4,转动惯量0.425x10
图2 PMSM矢量控制框图 采用Park变换版PMSM模型实施id=0矢量控制时,iq等于定子相电流幅值,为便于研究,定义Park变换版的k值为基值ba=2/3,其它版本的k值基于ba比例化取值。转速调节器输出饱和值(即iq给定限幅)应含k/ba项,可确保k变时电机输出转矩波形基本相同。 控制器采用DSP芯片TMS k分别取0.5ba、1.0ba和1.5ba,id=0矢量控制,转速阶跃0~2100rpm,三种模型版本的矢量控制实验结果如图3所示。实验结果对比可见: 1) 相电流除初始相位随机不同外,其幅值和频率变化规律一致,转速变化规律基本一致。 2) q轴电压电流呈现随k值成比例缩放的变化规律。 3) 三种模型版本的矢量控制实验波形响应均正常。
(a) k=0.5ba
(b) k=1.0ba
(c) k=1.5ba 图3 三种模型版本的矢量控制实验波形 可见实验结果与本文所提的相关建模结果是吻合的。 6 结论 通过研究分析,提出基于参数化dq0坐标变换的PMSM的建模方法,彻底解决了PMSM数学模型多版本并存时版本易混淆问题,对其它对象的相关建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了研究的正确性和有效性。
参考文献 [1] Pillay P, Krishnan R. Modeling, simulation, and analysis of permanent-magnet motor drives. I. The permanent-magnet synchronous motor drive[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 1989, 25(2): 265-273. [2] 刘金海,陈为. 表贴式永磁同步电机准稳态多参数在线辨识[J]. 电工技术学报,2016,(17):154-160. [3] 刘金海,陈为,胡金高. 永磁同步电机dq电感参数新实验获取法[J]. 电工技术学报,2014,(07):97-103. [4] 唐任远. 现代永磁电机与理论[M]. 北京: 机械工业出版社, 1997: 4-10. [6] Park R H. Two-reaction theory of synchronous machines generalized method of analysis-part I[J]. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, 1929, 48(3): 716-727.摘要:提出基于一种参数化dq0坐标变换的永磁同步电机(PMSM)建模方法,结果可用于矢量控制等。彻底解决了dq0坐标变换、PMSM数学模型的多版本易混淆问题。此外,本研究对其它对象基于dq0坐标变换的建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了本研究的正确性和有效性。 关键词:PMSM;dq0坐标变换;矢量控制;数学模型。 中图分类号:TM351 文献标识码:A 文章编号:xxx Modeling and Vector Control of PMSM Based on Parameterized dq0 Coordinate Transformation Abstract: In order to completely solve the problem that there are numerous versions of dq0 coordinate transformation and PMSM mathematical model which can be easily confused, a modeling method of PMSM based on parameterized dq0 coordinate transformation is presented. The modeling results can be used to perform vector control or others. Moreover, it contributes to a universal guide on how to model for other targets based on parameterized dq0 coordinate transformation. Theoretical verification and experiment further prove the correctness and validity of the study. Key words: PMSM, dq0 coordinate transformation, vector control, mathematical model
1 引言 永磁同步电机(PMSM)具有高功率密度、高转矩电流比、宽调速范围等众多优点[1-4],近年来在工业上应用广泛。这与永磁材料、电力电子、微型计算机及控制等技术的发展关系密切。PMSM当前主流的控制方式为矢量控制。 PMSM矢量控制的基础是同步电机理论中的dq0坐标变换及其推导出的电机数学模型。而同步电机理论体系源于20世纪20年代R.E. Doherty及R.H. Park等人卓有成效的研究[5,6]。R.H. Park的经典论文[6]具有里程碑意义,文中的系数为2/3的dq0变换应用广泛,习惯上称为Park变换。若考虑Kron的功率不变性变换原则[7],Park变换又可改造成恒功率dq0坐标变换[8](简称恒功率变换),此变换的系数为(2/3)0.5,此类变换版本也并非仅限于这两种。下文研究可知,dq0坐标变换的零序分量的子增益系数n的选择具有较强的自由度,此外理论上,dq0坐标变换系数k>0即可,所以dq0坐标变换具备存在其它大量衍生版本的可能性。例如,陈坚于1989年指出[9]: (1)当用恒功率变换时,得到的异步电机电磁转矩表达式系数为1。 (2)当用W. Leonhard等学者惯用的系数为1的dq0坐标变换时,得到的异步电机电磁转矩表达式系数为2/3。 (3)当用Park及Bose等学者惯用的系数为2/3的dq0坐标变换时,得到的异步电机电磁转矩表达式系数为3/2。 (4)当用系数为(1/3)0.5的dq0坐标变换时,得到的异步电机电磁转矩表达式系数为2。 可见: 1) dq0坐标变换存在多种惯用版本。 2) dq0坐标变换与异步电机电磁转矩表达式存在内在的关联性。 综上及结合交流电机定子共同理论,不难猜想:对于PMSM而言,将存在类似情况。dq0坐标变换版本不仅对转矩方程系数有影响,对电压、电流和磁链变换系数也有影响。 dq0坐标变换及其导出的相关数学模型多版本并存,给学术研究和工程应用造成不便,应特别小心版本易混淆问题,人们早已发现并指出该问题。例如,许大中于上世纪90年代初明确指出[10]:由于Park变换和恒功率变换这两种变换都用得很多,极易混淆。Charles A. G.认为[8]这两种变换形式产生相当复杂和潜在的混乱情况。然而由于应用场合及使用习惯差异等原因,规定统一使用某一特定版本的dq0坐标变换已不大现实。 综上所述,研究dq0坐标变换与PMSM数学模型的版本关联性,解决模型版本易混淆问题是很有必要和现实意义的。本文提出基于一种参数化dq0坐标变换的PMSM建模方法,并据建模结果进行矢量控制。从而彻底解决了模型版本易混淆问题,对其它对象基于dq0坐标变换的建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了研究的正确性与有效性。 2 PMSM模型版本差异性 按坐标描述形式,PMSM数学模型通常可分为三相静止坐标模型(abc)、两相静止坐标模型(ab),两相旋转坐标模型(dq)等,第三种最常用。三者的位置关系一般分为图1(a)[11]和图1(b) [1,12]两种情况,国内前者为主,本文采用前者。
(a)坐标关系一 (b)坐标关系二 图1 坐标关系 PMSM数学模型版本差异的根源是由于不同的坐标变换关系造成的。已有文献中常见版本的dq0坐标变换版本主要有Park变换和恒功率变换,存在分别与二者对应版本的PMSM数学模型,当然还有其它众多版本。Park变换及其对应的PMSM数学模型版本如下[11]: (1) (2) (3) (4) (5) 注意到不同文献所用符号略有区别,但本质无异。式(1)是abc坐标到dq坐标的变换矩阵,即Park变换的矩阵描述形式。式(2)磁链方程,Lq、Ld是交、直轴电感,lr为转子永磁磁链。式(3)电压方程,ud、uq为d、q轴电压,id、iq为d、q轴电流,ld,lq为d、q轴磁链,ωe为电角频率,Rs为定子电阻,p表示对时间求导。式(4)电磁转矩方程, Tem是电磁转矩,pn是极对数。式(5)运动方程,J是转动惯量,ωr是机械角频率,乘极对数pn即为电角频率。式(2)-(5)中相关的零序分量用零下标表示。PMSM数学模型应包括磁链方程、电压方程、电磁转矩方程、运动方程;值得注意是,dq0坐标变换应与之版本配套使用,从一而终。关于恒功率变换版本模型见下文。 3 参数化dq0坐标变换及建模 三相交流电机建模一般基于若干假定:忽略铁心磁饱和,电动势为正弦、忽略谐波因素、忽略铁损,电机三相对称等,本文的研究继承此假定条件。 3.1 参数化dq0坐标变换 PMSM数学模型版本最明显差异是电磁转矩方程系数(差异非仅限于此),原因是abc坐标转dq坐标的模缩放倍数不同,模缩放倍数取决于坐标变换矩阵系数。此外,不同版本变换阵的零序分量子增益系数有差异。定义abc坐标系电压、电流、磁链列向量如下: (6) (7) (8) 定义dq坐标系电压、电流、磁链列向量: (9) (10) (11) 式(9)-(11)中零序下标对应量为零序分量。 对应图1(a),定义ab坐标到dq坐标变换阵: (12) 定义abc坐标到ab坐标变换模缩放比例系数k,定义零序分量子增益系数n,得abc坐标到ab坐标变换矩阵: (13) 则abc坐标系到dq坐标系的参数化dq0坐标变换即: (14) 式(12)和式(13)代入式(14)得: (15) (16) 可见k和n都不能为零。若电压、电流、磁链用通配符s表示,那么abc坐标与dq坐标相关量的正逆变换为: (17) 下文基于参数化dq0坐标变换式(15)及变换关系式(17)推导与之关联的模型方程。 3.2 PMSM建模之磁链方程 PMSM在dq坐标系下的磁链方程以abc坐标系磁链方程为基础,经参数化dq0坐标变换矩阵式(15)变换得到。 为便于研究,将永磁转子磁链等效成电励磁式转子磁链,其等效直流励磁磁链即: (18) 式中:if是等效直流励磁电流,Laf是励磁轴线与电枢绕组磁轴线重合时定转子间互感。当两轴线存在一定夹角,互感按夹角余弦规律变化[11],那么定义定子三相与转子互感向量 (19) 定子电感矩阵可定义为[11]: (20) 则有定子abc坐标磁链方程: (21) 左右同时左乘式(15)整理得: (22) 根据文献[11]附录中定子电感模型及式(15)代入式(22)整理得dq0电感对角阵: (23) 其中: (24) 式中:La1中是电枢漏磁自感分量,Laa0是空间基波气隙磁通引起的自感分量,Lg2是凸极特性导致气隙差异引起的电感项,L0是零序电感。可见Ldq0与参数k及n无关。则式(22)整理得: (25) 则基于参数化dq0坐标变换的PMSM的磁链方程为: (26) 该方程含参数k,不含参数n,对照式(15)可见:参数化dq0坐标变换与其导出的PMSM磁链方程存在关联关系。 3.3 PMSM建模之电压方程 由法拉第电磁感应定律及欧姆定理可写出PMSM在abc坐标下电压方程: (27) 其中p为对时间求导,左右同时左乘式(15)得: (28) 注意到:式(27)中ldq0是时间的函数,Tv-1且含有变量q,q对时间求导即为电角频率we,改写式(28)得PMSM在dq坐标下电压方程: (29) 即为基于参数化dq0坐标变换的PMSM的电压方程。方程(29)似乎与参数化dq0坐标变换没有关联关系,不妨将式(26)代入式(29)整理得电压方程另一形式: (30) 式中含有参数k,由此可见:本质上,参数化dq0坐标变换与其导出的PMSM电压方程存在关联关系。 3.4 PMSM建模之电磁转矩方程 PMSM电磁转矩与功率有关,其输入电功率: (31) 式(9)、(10)和(15)代入整理得: (32) 式(29)代入整理得: (33) 式中4项分别是磁场储能变化率、零序功率、铜耗及电磁功率,零序电流一般为零,即使不为零,它在电机中不产生气隙主磁场,不影响转矩及电机动态过程[10]。由于机械角频率: (34) 则式(33)中电磁功率部分对机械角频率求导得PMSM电磁转矩方程为: (35) 式(26)代入得其另一形式: (36) 式(35)和(36)即为基于参数化dq0坐标变换的PMSM电磁转矩方程两种描述形式。可见PMSM电磁转矩方程与参数化dq0坐标变换存在关联关系。 以上,分别推导出了基于参数化dq0坐标变换的PMSM数学模型的磁链、电压、电磁转矩三大方程,皆与参数化dq0坐标变换存在关联关系。 参数化dq0坐标变换式(15)与(16)、磁链方程式(26)、电压方程式(29)与式(30)、电磁转矩方程式(35)与式(36)、运动方程式(5)、即为本文提出的基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果。 综上所述,借助以上建模结果,针对不同版本dq0坐标变换的参数k和n,可快速得到与之配套的PMSM数学模型版本。 4 模型理论验证 由上文PMSM建模结果的相关方程可见,dq0坐标变换及PMSM数学模型版本的选定本质上是对k和n参数值的选定,因此有必要对k和n参数取值进行探讨分析。关于模型理论验证,限于篇幅,下文仅对常见的Park变换和恒功率变换两种版本做理论验证,其它版本,读者可参照下文进行类似理论验证。 4.1 参数化dq0坐标变换的参数取值 为使公式(16)有意义,k和n不能为零。k反映了dq与abc两坐标系相关量的模缩放关系,则理论上k的取值范围为(0,+∞),其值的具体确定与dq0坐标变换及PMSM的数学模型版本选定直接相关。 为使零序分量在坐标变换前后保持同号,参数n理论上应大于零,则n的取值范围为(0,+∞)。可见,只有当考虑恒功率变换时,式(15)和(16)应为正交变换,此时n=1/(2)0.5,其它情况下理论上n>0即可,因此n参数值的选定一定条件下具有较强的主观性和随机性,值得注意。 4.2 与Park变换版本的PMSM模型理论验证 当k=2/3且n=1/2,式(15)即为Park变换式(1),磁链方程式(26)即为式(2),电压方程式(29)即为式(3),电磁转矩方程式(36)即为式(4),运动方程(5)不变。因此,本文基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果适用于Park变换版本。此外,易验证当n为其它大于零的值时,Park变换得到的PMSM的磁链、电压、电磁转矩三大方程不变。 4.3 与恒功率变换版本的PMSM模型理论验证 可以证明当dq0坐标变换为恒功率变换时,坐标变换矩阵应为正交矩阵[9],即 (37) E为单位阵,可解得: (38) 分别代入式(15)、(26)、(30)、(36)得: (39) (40) (41) (42) 已有多数文献中恒功率变换版本的dq0坐标变换及PMSM数学模型,关于式(39)和式(5)的描述形式与本文是一致的,而关于式(40)~(42)则略有区别,但本质上是一致的,因为已有文献中的恒功率变换版本已经对永磁磁链做了重定义[10, 14],即令: (43) 代入式(40)~(42),去掉上标,则与已有文献中的描述形式是一致的。值得注意的是:当文献经层层引用后,这种重定义说明常常被忽略,容易引起误解。因此,本文基于参数化dq0坐标变换的PMSM建模结果适用于恒功率变换版本。 5 矢量控制实验验证 为进一步验证建模的正确性与有效性,依据上文的建模结果:参数化dq0坐标变换式(15)与(16)、磁链方程式(26)、电压方程式(29)与式(30)、电磁转矩方程式(35)与式(36)、运动方程式(5),当k取不同值时,选用某PMSM进行矢量控制实验,控制框图如图2所示。图2中的SVPWM算法研究文献较多且成熟,限于篇幅不多展开。 实验电机参数为:额定功率600W,额定电压220V,相电阻0.982 ohm,直轴电感2.9mH,交轴电感3.0mH,永磁磁链0.075Wb,极对数为4,转动惯量0.425x10
图2 PMSM矢量控制框图 采用Park变换版PMSM模型实施id=0矢量控制时,iq等于定子相电流幅值,为便于研究,定义Park变换版的k值为基值ba=2/3,其它版本的k值基于ba比例化取值。转速调节器输出饱和值(即iq给定限幅)应含k/ba项,可确保k变时电机输出转矩波形基本相同。 控制器采用DSP芯片TMS k分别取0.5ba、1.0ba和1.5ba,id=0矢量控制,转速阶跃0~2100rpm,三种模型版本的矢量控制实验结果如图3所示。实验结果对比可见: 1) 相电流除初始相位随机不同外,其幅值和频率变化规律一致,转速变化规律基本一致。 2) q轴电压电流呈现随k值成比例缩放的变化规律。 3) 三种模型版本的矢量控制实验波形响应均正常。
(a) k=0.5ba
(b) k=1.0ba
(c) k=1.5ba 图3 三种模型版本的矢量控制实验波形 可见实验结果与本文所提的相关建模结果是吻合的。 6 结论 通过研究分析,提出基于参数化dq0坐标变换的PMSM的建模方法,彻底解决了PMSM数学模型多版本并存时版本易混淆问题,对其它对象的相关建模有指导意义。理论验证和矢量控制实验进一步验证了研究的正确性和有效性。
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